$$\def\bG{{\bf G}}\def\br{{\bf r}}\def\bq{{\bf q}}\def\pd{{\partial}}$$

Dynamique des vortex dans les supraconducteurs à haute température

Un de mes axes de recherche actuels (au département de physique du Technion Israel Institute of Technology et en collaboration avec Daniel Podolsky et Ronen Abravanel) est l'étude de l'influence de la température sur la dynamique des vortex dans des matériaux supraconducteurs à haute température en couches minces (par exemple YBCO), dans lesquels on crée un réseau de défauts colonnaires.

Introduction et motivation

Les supraconducteurs à haute température et les vortex

La supraconductivité vient d'avoir cent ans ; découvert en 1911 par Kamerlingh Onnes, l'état supraconducteur est l'état physique dans lequel un matériau a une résistance électrique nulle. Le matériau supraconducteur est de plus impénétrable par un champ magnétique : c'est l'effet Meissner qui permet la lévitation magnétique.

Lévitation magnétique
Lévitation magnétique d'un supraconducteur conduit en dessous de sa température critique.
L'état supraconducteur est atteint en dessous d'une température critique caractéristique du matériau. Pendant longtemps, on a cru que cette température ne pouvait pas dépasser 30 K. En 1986, la découverte par Bednorz et Müller (prix Nobel un an plus tard) de la supraconductivité à haute température a lancé un nouvel axe de recherche théorique et expérimental qui continue à être extrêmement dynamique aujourd'hui. La supraconductivité "à haute température" signifie que le matériau reste supraconducteur à des température supérieures à 77 K, le point d'ébullition de l'azote liquide, ce qui simplifie considérablement les expérimentations et les applications industrielles éventuelles. Pour les amener dans l'état supraconducteur, il suffit d'utiliser de l'azote liquide (peu cher, maniable et disponible en abondance), tandis que les matériaux antérieurs à 1986 nécessitaient de l'hélium ou de l'hydrogène liquide, beaucoup plus onéreux (environ cinq fois plus cher pour l'hydrogène, et cinquante fois plus cher pour l'hélium, dont la pénurie irréversible inquiète très sérieusement) à utiliser.

Depuis lors, on a identifié un grand nombre de supraconducteurs à haute température, beaucoup d'entre eux étant des cuprates (contenant du cuivre sous forme d'anion) parmi lesquels l'oxyde mixte de baryum de cuivre et d'yttrium, ou YBCO (YBa\(_2\)Cu\(_3\)O\(_{7-\delta}\)) avec une température critique de 93 K. D'autres cuprates comme le BSCCO ou le TBCCO ont des températures critiques un peu plus élevées.

Bien que l'on dispose d'un grand nombre de matériaux supraconducteurs à haute-température, ce type de supraconductivité constitue encore un des grands problèmes non résolus de la physique et a suscité et suscite encore nombre de débats et de controverses. La recherche expérimentale et théorique, fondamentale et appliquée, est donc extrêmement active dans ce domaine depuis une trentaine d'années.

Les vortex

Les cuprates sont des matériaux supraconducteurs de type II : au delà de la phase supraconductrice Meissner où ils excluent tout champ magnétique, ils possèdent une phase dite mixte qui apparaît lorsque le champ magnétique est assez grand. Dans cette phase, ces matériaux sont pénétrables par un champ magnétique, qui est transmis au travers du matériau par des lignes de flux appelées vortex (vortex d'Abrikosov). A l'intérieur des vortex, la supraconductivité est détruite et le matériau est dans un état "normal" (non supraconducteur). A l'extérieur des vortex, il continue à être supraconducteur.

Chaque vortex contient un quanta de flux magnétique et plus le champ magnétique augmente, plus le nombre de vortex présents dans le matériau est grand. Ces vortex se repoussent entre eux de sorte qu'ils préfèrent s'organiser spontanément en réseau ordonné : le réseau d'Abrikosov (voir la figure 1). Pour donner un ordre de grandeur, dans l'YBCO, les vortex font 2-3 nm de diamètre et la distance moyenne entre deux vortex est de 10-30 nm (de l'ordre de 1 T) (voir Matsumoto and Mele, 2010).

Réseau d'Abrikosov
Figure 1 : Observation d'un réseau d'Abrikosov dans le NbSe\(_2\) par microscopie à effet tunnel [Hess et al. 1989]

Fixer les vortex : les défauts colonnaires

La dynamique des vortex est fortement influencée par les fluctuations thermiques. Au delà d'une certaine température, ces vortex deviennent mobiles à l'intérieur du matériau et forment un liquide de vortex (par opposition à la phase solide organisée en un réseau d'Abrikosov). (Le matériau qui contient les vortex est toujours dans sa phase solide.) Les vortex sont également faiblement mobiles lorsque le matériau est soumis à un courant électrique. Le mouvement des vortex est dissipatif ; on cherche donc, afin d'améliorer les caractéristiques et les performances des matériaux, à trouver des moyens de fixer ces vortex le plus fortement possible.

Dans cette optique, les YBCO sont parmi les matériaux les plus prometteurs pour les applications pratiques. Dans l'YBCO en couches minces notamment, il est possible d'usiner artificiellement des défauts colonnaires (voir la revue par Civale, 1997) par irradiation aux ions lourds ou bien par lithographie par faisceau d'électrons : le bombardement détruit partiellement le matériau et résulte en un ensemble de "trous" colonnaires qui traversent le matériau de part et d'autre. Energétiquement parlant, il est plus favorable pour les vortex de s'installer sur ces défauts colonnaires : ils font ainsi l'économie du coût de la destruction de la supraconductivité à l'intérieur du vortex. La présence de ces défauts permet de fixer très fortement les vortex. D'autre part, il est possible de créer artificiellement de véritables nanoréseaux de défauts colonnaires (voir par exemple Lin, 1996), avec différentes géométries (réseau carré, hexagonal, etc.). La figure 2 montre un réseau carré de défauts colonnaires créé dans une couche mince de niobium (Nb) par irradiation aux ions gallium (Ga).

Réseaux de défauts colonnaires
Figure 2 : Micrographes de Lorentz permettant d'observer un réseau carré de défauts colonnaires (indiqués par des point roses) pour différentes valeurs de champ magnétique. (a) Le champ magnétique est fort : il induit quatre fois plus de vortex (en bleu) que de défauts ; (b) le champ magnétique induit un nombre de vortex égal au nombre de défauts (matching field); (c) le champ magnétique est faible : le réseau de défauts est rempli au quart par les vortex. [D'après Tonomura 1999]

Dans la suite, on cherche à étudier l'influence de la température sur les vortex dans des matériaux possédant un tel réseau de défauts colonnaires.

Réseau bipartite au demi-remplissage

On considère un réseau bipartite (possédant deux sous-réseaux équivalents A et B, comme sur la figure 3) carré de défauts colonnaires créé dans un supraconducteur de type-II. On place le matériau sous un champ magnétique tel qu'exactement la moitié des défauts sont occupés par un vortex. Les interactions intervortex sont répulsives, si bien que l'énergie est minimisée lorsqu'un site sur deux est occupé ; il y a deux états fondamentaux dégénérés : un état où le sous-réseau A est occupé et le B est vide ; et un autre état où le B est occupé et A est vide.

Réseau bipartite
Figure 3 : Réseau bipartite.

L'expérience débute à basse température dans l'un des deux états fondamentaux ; on augmente la température jusqu'à dépasser la transition de l'état "solide de vortex" (le réseau d'Abrikosov) vers l'état où les vortex deviennent mobiles. Ils ne sont plus "épinglés" aux défauts et commencent à explorer le système à mesure que la température augmente. Imaginons qu'après un certain temps, on baisse de nouveau la température pour revenir à la température initiale (où les vortex sont figés en réseau).

La question est alors : quelle est la probabilité que le système ait changé d'état fondamental ? Autrement dit, à quel point les vortex ont été capables d'explorer le système ? Ont-ils pu s'éloigner suffisamment des défauts auxquels ils étaient attachés au début de l'expérience, pour "sauter" sur les défauts voisins et y rester lorsqu'on a de nouveau repassé la transition ? A quel point cela dépend-il de la température au dessus de la transition jusqu'à laquelle on a mené le système avant de rebrousser chemin ?

Modèle pour un vortex "itinérant"

Pour répondre à cette question, il convient de prendre en compte deux effets importants : les défauts colonnaires qui ont tendance à attirer les vortex, et les interactions répulsives intervortex.

Potentiel attractif créé par un défaut colonnaire

Prenons un défaut situé à l'origine. Un vortex ressent le potentiel attractif créé par ce défaut qu'on peut modéliser par un puits cylindrique : \(V_{\text{défaut}}(\br)=-V_0<0\) pour \(\br \leq a\) et \(V_{\text{défaut}}(\br)=0\) pour \(\br > a\), c'est à dire : $$\begin{equation} V_{\text{défaut}}(\br)=-V_0 \theta(a-|\br|) \end{equation}$$ où \(\theta(x)\) est la fonction de Heaviside.

Néanmoins, la définition du potentiel d'un défaut à l'aide d'une fonction discontinue comme la fonction de Heaviside pose problème pour résoudre numériquement les équations. On peut "adoucir" ce potentiel en choisissant une fonction continue approchant asymptotiquement la fonction de Heaviside. Il y a plusieurs choix possibles : on choisit d'utiliser la distribution de Fermi-Dirac (avec une motivation purement technique et non physique) illustrée par la figure 4.

Distribution de Fermi-Dirac
Figure 4 : La distribution de Fermi-Dirac \(\theta_F\) approchant asymptotiquement de la fonction de Heaviside \(\theta(0.5-|\br|)\) pour \(d \to 0\).
Le potentiel créé au point \(\br\) par un défaut situé à l'origine est donc : $$\begin{equation} V_{\text{défaut}}(\br)=-V_0\theta_F^a(\br) = -V_0\frac{1}{1+\exp\left(\frac{|\br|-a}{d}\right)} \end{equation}$$ où \(d\) doit être suffisamment petit pour modéliser correctement le puits de potentiel ; \(a\) est le rayon du puits cylindrique.

Considérant maintenant le système en entier, un vortex itinérant situé au point \(\br\) ressent la somme de tous les potentiels créés par les défauts du réseau (aux points \(\br_j\)) : $$\begin{equation} V_{\text{réseau}}(\br)=-V_0\sum_{j \in \text{réseau}}\frac{1}{1+\exp\left(\frac{|\br-\br_j|-a}{d}\right)} \end{equation}$$

Potentiel dû aux interactions répulsives entre les vortex

Un vortex ressent également un potentiel dû aux interactions avec tous les autres vortex du système. Nous voulons d'abord commencer par étudier le mouvement d'un seul vortex. Prenons donc le vortex situé à l'origine au début de l'expérience et considérons pour le moment qu'il est le seul à se mouvoir ; tous les autres vortex sont totalement fixés à leurs défauts (qui appartiennent au même sous-réseau que le défaut situé à l'origine). Le potentiel intervortex est modélisé par une fonction de Bessel (voir Blatter 1994) : à courte distance, elle peut être approximée par un logarithme (valable dans notre cas : un supraconducteur de type II, donc avec une longueur de pénétration très grande) ; nous pouvons donc prendre : $$\begin{equation} V_\text{v}(r)=-\rho_S \ln\left(r\right)+C \end{equation}$$ comme potentiel d'interaction entre deux vortex situés à une distance \(r\). \(C\) est une constante numérique sans grande importance pour notre problème, que l'on omettra par la suite. En additionnant tous les potentiels logarithmiques créés par tous les vortex (situés aux points \(\br_i\) appartenant au sous réseau), on obtient le potentiel d'interaction ressenti en \(\br\) par notre vortex itinérant. Il faut y ajouter le potentiel en \(|\br|^2\) créé par le fond neutralisant (neutralizing background) qui permet le confinement de l'ensemble des vortex : $$\begin{equation} V_\text{vortex}(\br)=\rho_S\frac{\pi}{4}|\br|^2-\sum_{i \in \text{sous-réseau}}\rho_S \ln\left(|\br-\br_i|\right) \end{equation}$$ La figure 5 montre ce potentiel attractif, additionné du potentiel créé par le défaut colonnaire situé à l'origine. En chaque point où se situe un autre vortex, le potentiel diverge.

Potentiel ressenti par un vortex
Figure 5 : Potentiel dû à l'ensemble des vortex du système, ressenti par un vortex aux environs de l'origine - origine où se situe le défaut auquel il est attaché initialement. (Le potentiel attractif du défaut à l'origine est inclu sur la figure pour fixer les idées, mais pas le potentiel créé par les autres défauts du système).

Le vortex "itinérant" comme un marcheur aléatoire dans un potentiel

Equations de Langevin - mouvement Brownien

Afin d'estimer la propension du vortex à explorer les environs de son point de départ, nous proposons de considérer ce vortex comme un marcheur aléatoire dans un potentiel. Ce problème analogue au problème du mouvement Brownien peut être abordé par des équations de Langevin : on écrit les équations du mouvement en ajoutant "à la main" une force stochastique - ou force de Langevin - qui modélise les effets de la température : le marcheur est plongé dans un "bain thermique" où il puise de l'énergie.

L'ensemble des forces ressenties par le vortex (auquel on confère une "masse" - une inertie - \(m\)) sont une force de friction avec le "fond" qui l'environne (avec un coefficient de friction \(c=m\gamma\) ; \(\tau=1/\gamma\) est le temps de relaxation du vortex dans ce "fond"), une force dérivant du potentiel modélisé ci-dessus et enfin une force stochastique (les fluctuations thermiques) : \(m\Gamma(t)\). Les équations du mouvement sont donc : $$\begin{equation} m\ddot \br = - c \dot \br - m\nabla V (\br) + m\Gamma(t) \frac{\br}{|\br|} \end{equation}$$ Il convient de choisir une forme appropriée pour \(\Gamma(t)\) : en l'absence du potentiel \(V(\br)\), elle doit permettre de retrouver les résultats de la physique statistique classique, et notamment l'équipartition de l'énergie. On choisit un bruit blanc, d'intensité \(q=2\gamma kT/m\) : $$\begin{equation} \left<\Gamma(t)\right>=0 \quad\text{et :}\quad \left<\Gamma(t)\Gamma(0)\right>=q\delta(t) \end{equation}$$ il est facile de montrer que l'on retrouve bien les résultats attendus (voir Risken).

La friction étant très importante (\(\gamma\gg 1\)) - temps de relaxation très court - on peut négliger le terme d'accélération pour obtenir l'équation de Langevin suivante : $$\begin{equation} \dot \br =\frac{1}{\gamma}\left( -\nabla V(\br) + \Gamma(t) \frac{\br}{|\br|}\right) \end{equation}$$

Equation de Fokker-Planck

Même pour un système et un potentiel simples, les équations de Langevin ne sont pas faciles à aborder analytiquement, ni même numériquement. On préfère souvent attaquer le problème dans le formalisme de l'équation de Fokker-Planck, équivalente à l'équation de Langevin.

L'équation de Fokker-Planck correspondant à notre problème est aussi appelée équation de Schmoluchowski : $$\begin{equation} \frac{\pd W(\br,t)}{\pd t}= \left[-\frac{1}{\gamma}\vec\nabla V'(x) + \frac{q}{2\gamma^2}\nabla^2\right] W(\br,t) \label{schmol} \end{equation}$$ avec \(W(\br,t)\) la densité de probabilité de trouver le marcheur (le vortex) au point \(\br\) au temps \(t\).

Recherches en cours

Une résolution numérique de l'équation de Fokker-Planck (\ref{schmol}) pour un unique vortex nous permettra de calculer les caractéristiques du mouvement du vortex dans son potentiel : parcours moyen dans le potentiel, taux d'échappement du puits, etc.

Dans un second temps, à la lumière des résultats obtenus pour un unique vortex itinérant, nous aborderons la dynamique de l'ensemble des vortex, soit par le formalisme de Fokker-Planck, soit par simulations numériques Monte-Carlo.

Bibliographie