$$\def\bG{{\bf G}}\def\br{{\bf r}}\def\bq{{\bf q}}$$

Hélium-4

Un de mes axes de recherche actuels (au département de physique du Technion Israel Institute of Technology et en collaboration avec Daniel Podolsky et Snir Gazit) concerne l'hélium-4 solide. Nous cherchons à identifier et caractériser les excitations de la phase solide (les phonons) à l'aide d'un modèle phénoménologique valide dans le voisinage de la transition liquide-solide. Il s'agit ici de donner une explication à la présence, encore mal comprise, de phonons optiques dans l'hélium solide.

Introduction : l'hélium

L'hélium est l'élément le plus léger après l'hydrogène. L'hélium possède deux isotopes stables : l'hélium-3 et l'hélium-4, le plus abondant. Ils ont des comportements très différents : l'hélium-4 est un boson, tandis que l'hélium-3 est un fermion. Sauf mention contraire, on traite ici de l'hélium-4.

La figure 1 montre le diagramme de phase de l'hélium-4.

Diagramme de phase de l'Hélium
Figure 1 : Diagramme de phase de l'hélium-4
L'hélium est la seule substance connue qui reste liquide jusqu'au zéro absolu (0K = -275.15°C) ; il n'existe pas de point triple solide-liquide-gaz. Toutes les autres substances, y compris l'hydrogène, sont solides au moins jusqu'à des températures de l'ordre de quelques kelvins, comme sur ce diagramme de phase typique (la phase solide, selon la substance, peut présenter plusieurs phases cristallographiques différentes).
Diagramme de phase typique
Figure 2 : Diagramme de phase typique (eau, air, oxygène, etc.)

Hélium-4 solide

Il est possible d'observer de l'hélium solide à basse température, pour des pressions supérieures à 2.5 MPa (= 25 bar = environ 25 atmosphères). L'hélium solide possède une structure hexagonale compacte, sauf dans une petite partie du diagramme de phase où il a une structure cubique centrée, comme le montre la figure 1.

De l'état fluide à l'état solide ?

Gaz parfait : lorsque la température est suffisamment élevée et la pression suffisamment faible (gaz dilué), l'énergie cinétique thermique est dominante et l'on peut négliger le reste des phénomènes (interactions, dimension des constituants du gaz, etc.). C'est le modèle du gaz parfait : un gaz de particules libres sans interaction (en dehors des chocs, qui sont donc élastiques) et dont les dimensions sont négligeables par rapport à la distance moyenne interparticules.

Energie cinétique classique : selon la mécanique classique, le mouvement des atomes d'un gaz parfait est directement relié à la température (théorème d'équipartition de l'énergie) : $$\begin{equation} \frac{1}{2}m v^2=\frac{3}{2}k_B T \label{classkinenergy} \end{equation}$$ où \(k_B\) est la constante de Boltzmann. Intuitivement, à mesure qu'on diminue la température, les atomes ralentissent de plus en plus et l'énergie cinétique totale du gaz diminue.

Interactions : lorsque la température diminue, ou que la pression augmente, les effets autres que ceux dus à l'agitation thermique deviennent importants. En particulier, l'énergie d'interaction entre les particules du gaz commence à être comparable à l'énergie cinétique (\ref{classkinenergy}) qui diminue avec la température.

Modèle des sphères dures : Lorsque le fluide n'est plus très dilué (ce qui est le cas si la pression augmente), le modèle du gaz parfait n'est pas valable car il faut prendre en compte les dimensions de ses constituants. En première approximation, on peut les modéliser comme des sphères dures, impénétrables, de rayon \(r_0\). Voir la figure 3 qui montre une configuration typique pour un ensemble de sphères dures. Ce modèle simple et bien connu permet une vision intuitive du problème et donne d'ailleurs de bons résultats quantitatifs.

Sphères dures
Figure 3 : configuration typique d'un fluide de sphères dures [Chaikin, Lubensky, 1995]

Corrélations : Considérons un atome au centre de l'échantillon (sphère noire au centre de la figure 3) ; la distribution radiale \(g(r)\) est définie comme le nombre de sphères dont le centre se trouve dans un anneau situé entre les cercles de rayon \(r - dr\) et \(r + dr\), donc de rayon moyen \(r\) et d'"épaisseur" \(2dr\). Prenons un anneau de rayon moyen \(2r_0\) - deux fois le rayon d'une sphère : c'est la "coquille" la plus proche voisine du centre ; si le fluide est suffisamment concentré, comme sur la figure, cet anneau contient approximativement six atomes (ou douze, si l'on est en 3D). En revanche dans un anneau de rayon un peu plus grand (\(\sim 3r_0\)) , il n'y aura presque pas de sphères en moyenne, à cause de l'exclusion de la coquille plus proche voisine. C'est ce qu'on appelle les corrélations : la présence d'une sphère à un endroit donné implique une structure très précise de son voisinage.

Lorsqu'on s'éloigne de la sphère noire, les corrélations diminuent rapidement. A partir d'une certaine distance, la disposition des sphères n'est pas influencée par la sphère noire mais seulement par leur plus proches voisines ; les sphères voisines "écrantent" l'influence des sphères plus lointaines. On visualise ces corrélations sur la figure 4, où l'on observe bien un pic à environ \(3.8 Å\), distance qui pour l'argon correspond donc à \(2r_0\) du modèle des sphères dures (ce qui concorde avec le rayon de van der Waals de l'argon : \(1.88 Å\)). Plus la pression (donc la densité) augmente, c'est-à-dire plus on se rapproche de la transition vers la phase solide, et plus ce pic sera prononcé. Il en est de même lorsque la température diminue, même si le modèle des sphères dures peine à rendre compte des phénomènes thermiques.

Distribution radiale de l'argon title=
Figure 4 : La distribution radiale \(g(r)\) pour l'argon liquide. La courbe est le résultat de simulations Monte Carlo basées sur un modèle incluant des corrections supplémentaires (termes à trois corps, corrections quantiques, etc.) [J.A. Barker et al. (IBM, San Jose, Californie, Diffusion Research Unit, Australian National University, Canberra, 1971)]. Les cercles correspondent à des mesures expérimentales sur l'argon liquide [J.A. Yarnell et al. (Laboratoire de Los Alamos, Nouveau Mexique et IBM New York, 1973)].

Transition : Les phénomènes d'interactions et l'effet des dimensions combinés vont piloter la transition du fluide vers le solide. La présence du pic dans la distribution radiale montre la tendance du fluide à la périodicité, tendance d'autant plus prononcée que l'on s'approche de la transition liquide-solide. A cause de ce pic de plus en plus prononcé, on dit qu'à l'approche de la transition, le fluide développe une instabilité vers la phase solide.

Symétries : du point de vue des symétries, les phases liquide et gazeuse sont identiques. On ne peut vraiment les différencier que lorsqu'elles coexistent et que l'on observe un ménisque (résultant d'un indice de réfraction différent) avec une phase dense d'un côté ("liquide") et une phase moins dense de l'autre ("gazeuse"). On parle plutôt de fluide lorsqu'on ne peut pas les distinguer. Les fluides sont homogènes et isotropiques ; l'ensemble des opérations de translation, de réflexion ou de rotation (groupe euclidien) laisse un fluide totalement inchangé. La densité locale \(\rho(x,y,z)\) par exemple, est uniforme et égale à la densité moyenne du système (nombre total d'atomes divisé par le volume total du système): $$\begin{equation} \rho(x_1,y_1,z_1) = \rho(x_2,y_2,z_2)= \rho_0 \label{translationsymmetry} \end{equation}$$
En revanche, les solides sont très différents. Le groupe de symétrie qui caractérise une phase solide est beaucoup plus petit que le groupe d'un fluide. On dit qu'il y a une brisure de symétrie au cours du passage de la phase fluide à la phase solide (le concept de symétrie - avec les transitions de phase et les brisures de symétrie associées - est l'une des pierres angulaires de la physique moderne). La symétrie de translation par exemple est brisée : en effet, l'équation (\ref{translationsymmetry}) n'est plus valable, mais seulement sa version discrète : $$\begin{equation} \rho(x,y,z) = \rho(x+a_x,y+a_y,z+a_z) \label{translationsymmetry2} \end{equation}$$ où \(a_x,a_y,a_z\) sont des constantes caractéristiques du solide ; pour un réseau cubique (voir la figure 5), \(a_x=a_y=a_z=a_0\).

Hélium solide

La phase solide de l'hélium qui nous intéresse ici est la phase cubique centré (bcc) qui apparaît proche de la transition liquide-solide (voir la figure 1). Le groupe de symétrie correspondant est le groupe \(O_h\) et possède 48 opérations de symétrie.

Réseau BCC
Figure 5 : Maille conventionnelle du réseau cubique centré (bcc) qui est la configuration cristallographique de l'hélium solide proche de la transition (voir la figure 1). Les atomes sont indiqués en noir, les lignes sont des guides pour l'oeil.

Mouvement des atomes dans la phase solide : les phonons

Dans la phase solide, les atomes ne sont pas tout à fait figés : ils ont une position d'équilibre fixe, ou position moyenne, mais ils continuent à se mouvoir aux alentours de cette position d'équilibre, en partie à cause de la température. Du fait des interactions (répulsives) avec ses voisins, un atome va ressentir un puits de potentiel énergétique et pour un solide typique, sa position d'équilibre correspond au centre du puits et à son point le plus bas. Ainsi, l'atome peut osciller autour de sa position d'équilibre, mais c'est cette dernière qui est la plus favorable en énergie (voir le potentiel en gris pointillé de la figure 6).
Le cas de l'hélium est très particulier car le puits de potentiel admet deux minima situés de part et d'autre de la position d'équilibre, comme le montre la courbe en bleu de la figure 6. Comme les minima d'énergie ne sont pas situés à la position d'équilibre, l'atome d'hélium aura d'autant plus de facilité, énergétiquement parlant, à explorer les environs de sa position d'équilibre.

Puits de potentiel pour un atome d'Hélium
Figure 6 : Puits de potentiel ressenti par un atome dans un solide (selon une direction donnée) : la position d'équilibre est au centre, en \(x=0\) ; le cas d'un solide typique est représenté en gris pointillé, le cas de l'hélium solide en trait plein bleu. [D'après Glyde (1994)]

Energie de point zéro ou énergie du vide :

Il y a un effet supplémentaire à prendre en compte pour comprendre l'hélium solide. Selon la mécanique classique, d'après l'équation (\ref{classkinenergy}), à mesure qu'on se rapproche du zéro absolu (\(T=0 K=-273.15°C\)), les atomes bougent de moins en moins pour finir par se figer complètement lorsque le système atteint une énergie nulle. Néanmoins, l'un des principes fondamentaux de la mécanique quantique, le principe d'incertitude d'Heisenberg, stipule que tout système physique doit posséder une énergie de point zéro, ou énergie du vide, qui est supérieure au minimum classique d'énergie. (Selon le principe d'Heisenberg, il est impossible de spécifier avec une précision absolue à la fois la position et la vitesse d'un système ; ceci exclut donc un état totalement figé.) L'énergie de point zéro est l'énergie du système retranchée de toute son énergie thermique - équation (\ref{classkinenergy}). Elle implique un mouvement du système, y compris à température nulle.

C'est précisément la raison pour laquelle l'hélium ne se solidifie pas à la pression atmosphérique : son énergie de point zéro est trop grande pour cela, et le mouvement des atomes est trop important pour une solidification. Il faut augmenter la pression, et donc la densité, pour arriver à l'état solide. Même dans l'état solide, les fluctuations sont énormes : de l'ordre de 30% d'écart par rapport aux positions d'équilibre, qu'il faut comparer à la limite de 10% du critère de Lindemann pour la fusion d'un solide (voir Polturak et Gov, 2003). Ce chiffre de 30% en désaccord avec les critères cristallographiques habituels montre à quel point l'hélium solide est un matériau atypique, pour lequel il convient d'adapter les modèles et de penser différemment.

Questions ouvertes et motivation du projet de recherche

L'hélium-4 solide pur dans sa phase bcc a une structure cristallographique telle qu'il possède un seul atome par cellule élémentaire. En principe, les approches standard permettent d'en conclure d'emblée qu'il y a dans le solide trois phonons (excitations) acoustiques (mode énergétique non gappé) et aucun phonon optique (mode énergétique gappé).

L'observation de modes optiques dans les expériences de diffusion de neutrons sur l'hélium-4 solide (voir Gov 1999 et Markovich 2002) contredit donc la compréhension que nous avons de cette phase.

Malgré quelques tentatives pour expliquer la présence de ces phonons, la question reste ouverte. Notre travail propose une explication d'un mécanisme qui peut prendre place dans des solides à condition que les fluctuations quantiques soient importantes, comme dans le cas de l'hélium-4. Ces phonons seraient selon ce point de vue des analogues de modes de Higgs dans des systèmes d'onde de densité. Nous nous appuyons sur un modèle phénoménologique basé sur la notion d'onde de densité.

Notre approche est également pertinente pour des systèmes qui présentent des ondes de densité comme le composé dichalcolgénide 2H-NbSe\(_2\) (voir plus bas).

Ondes de densité :

On vient de voir que dans la phase solide, les atomes bougent autour de leur position d'équilibre : ils ne sont pas figés en un point. Plutôt que de concevoir un solide comme un ensemble d'atomes situés en des points précis, on pourrait l'imaginer comme un milieu dense, où certains points (les points du réseau) concentrent plus de matière que d'autre. En adoptant ce point de vue, on peut décrire le solide en définissant la fonction densité \(\rho(\br)\) qui donne la valeur de la densité de matière en un point \(\br\).

De plus, un solide est périodique dans l'espace comme le traduit l'équation (\ref{translationsymmetry2}). Or, toute fonction périodique de la position \(\bf{r}\), comme la densité \(\rho(\br)\), peut être décomposée en série de Fourier : $$\begin{equation} \rho(\br)= \rho_0 + \sum_{\bG_i} \rho_{i} e^{i \bG_i \cdot \br} \label{CDWFourierGS} \end{equation}$$ où les coefficients \(\rho_{i}\) sont réels et \(\rho_0\) est la densité moyenne du système (le nombre total d'atomes divisé par le volume total). Les vecteurs \(\bG_i\) sont appelés les vecteurs du réseau réciproque ; ils rendent compte de la périodicité du système. Dans un solide pur où tous les atomes sont identiques, les coefficients \(\rho_{i}\) doivent être tous égaux, donc indépendants du vecteur réciproque : \(\rho_{i}=\bar\rho\), \(\forall i\).

A une dimension : On le comprend intuitivement en considérant un réseau unidimensionnel de constante \(a_0\) : sur un axe \(x\), un atome est placé tous les \(a_0\). La densité du système est alors : $$\begin{equation} \rho(x)= \bar\rho e^{i\frac{2 \pi}{a_0} x} + \bar\rho e^{-i\frac{2 \pi}{a_0}x} =2 \bar\rho \cos \left(\frac{2 \pi}{a_0} x\right) \label{CDW1D} \end{equation}$$ Ici, il y a deux vecteurs réciproques opposés : \(\bG_\pm=\pm 2 \pi / a_0 \hat x\) (où \(\hat x\) est le vecteur unitaire le long de l'axe des \(x\)). La densité est bien périodique de période \(a_0\) comme le montre la figure 7.

CDW 1D
Figure 7 : Onde de densité de charge unidimensionnelle représentant un réseau d'atomes unidimensionnel de maille \(a_0\) ; les atomes indiquent les pics de densité.

Théorie de Ginzburg-Landau : l'état fondamental

On l'a vu plus haut en examinant les symétries : du côté liquide, la densité est uniforme \(\rho(\br)=\rho_0\). Du côté solide, elle est périodique et peut être décrite par l'équation (\ref{CDWFourierGS}) avec \(\rho_{i}=\bar\rho\), \(\forall i\) pour un solide pur comme l'hélium-4.

Suivant une proposition de Alexander et McTague, on décrit la transition liquide-solide par une énergie de Ginzburg-Landau : $$\begin{equation} F=\int d{\bf r}_1d{\bf r}_2 \rho({\bf r}_1) \chi_0^{-1}({\bf r}_1,{\bf r}_2)\rho({\bf r}_2) -B\int d{\bf r} \rho({\bf r})^3 +C\int d{\bf r} \rho({\bf r})^4 \label{GinzburgLandau} \end{equation}$$ avec : $$\begin{equation} \chi_0^{-1}({\bf r}_1,{\bf r}_2)=\left[r+c (k_0^2+\nabla^2)^2\right] \delta({\bf r}_1-{\bf r}_2) \end{equation}$$ et : \(r=a(T-T^*)\) est le paramètre qui pilote la transition ; \(T^*\) est la température de transition de champ moyen et \(a>0\).

Ce modèle phénoménologique permet de rendre compte de l'instabilité du fluide vers la phase solide et du caractère de la transition (premier ordre) : la densité est donnée par $$\begin{equation} \rho(\br)= \rho_0 + \bar\rho\sum_{\bG_i} e^{i \bG_i \cdot \br} \label{rhoGLGS} \end{equation}$$ avec \(\bar\rho=0\) du côté liquide de la transition et \(\bar\rho\neq 0\) du côté solide ; \(\bar\rho\) est donc le paramètre d'ordre de la transition.

Du côté de la phase solide, en déterminant les vecteurs réciproques \(\bG_i\) qui minimisent l'énergie (\ref{GinzburgLandau}), on déduit la configuration cristallographique la plus favorable en énergie.

A trois dimensions :

La configuration la plus favorable est celle du réseau cubique centré (bcc), qui correspond bien à l'hélium solide proche de la transition (figure 1). Il y a douze vecteurs réciproques, qui s'organisent sur un octaèdre, illustré par la figure 8.

Octaèdre
Figure 8 : L'ensemble des vecteurs réciproques du réseau bcc : les vecteurs ont pour origine le centre de l'octaèdre et leurs extrêmités sont les milieux des arêtes. Il y a douze vecteurs au total dont six sont numérotés positivement \(\bG_{i}\), \(i=1,\ldots,6\); les six autres sont leurs opposés et notés \(\bG_{-i}\).

Maintenant que les vecteurs réciproques sont fixés, la valeur du paramètre d'ordre \(\bar\rho\) correspond au minimum absolu de l'énergie et peut être calculé analytiquement en fonction des paramètres phénoménologiques \(r,B,C\). Pour la phase liquide, le minimum est \(\bar\rho=0\) (la courbe noire à \(r=0.2\) sur la figure 9, où l'on voit une inflexion à \(\bar\rho\sim 0.2\) qui dénote le développement de l'instabilité vers la phase solide). Dans la phase solide, le minimum d'énergie est pour \(\bar\rho\neq 0\) (la courbe rouge à \(r=-0.2\) sur la figure 9). A la transition, les deux minima sont dégénérés (courbe bleue, \(r=0\)).

Energie de Ginzburg-Landau
Figure 9 : Energie de Ginzburg-Landau (\ref{GinzburgLandau}) dans l'état fondamental (pas de phonon) en fonction du paramètre d'ordre \(\bar\rho\) pour \(B=5\) et \(C=1\).

A deux dimensions :

La configuration qui minimise l'énergie possède six vecteurs réciproques disposés sur un hexagone.

Hexagone
Figure 10 : L'ensemble des six vecteurs réciproques du réseau bidimensionnel hexagonal : les vecteurs ont pour origine le centre de l'hexagone et leurs extrêmités sont sur les coins de l'hexagone.
Les six vecteurs réciproques (\(\bG_1,\bG_2,\bG_3\) et leurs trois opposés) forment trois ondes de densité de la même forme que l'équation (\ref{CDW1D}). Leur superposition selon l'équation (\ref{rhoGLGS}) donne un réseau cristallin triangulaire ; la figure 11 montre la fonction densité \(\rho(\br)\) : les zones les plus blanches représentent la densité maximum (présence d'un atome) et les zones bleues sombres sont les plus faibles en densité (vide).
Réseau triangulaire à deux dimensions
Figure 11 : Le réseau triangulaire à deux dimensions est la configuration qui minimise l'énergie de Ginzburg-Landau.

Les ondes de densité en deux dimensions ne relèvent pas du théorique pur : ce phénomène a été observé par exemple par microscopie à effet tunnel dans le composé dichalcolgénide 2H-NbSe\(_2\) [Giambattista et al. (1988)]. Les expériences récentes de l'équipe de Jennifer E. Hoffmann à Harvard montrent la richesse de tels phénomènes d'onde de densité ; les avancées techniques dans l'imagerie (voir la figure 12) permettent d'avancer dans la compréhension de ceux-ci.

Onde de densité dans le 2H-NbSe2
Figure 12 : Topographies par microscopie à effet tunnel (STM) du NbSe\(_2\) dopé. La température est inférieure à la température de transition vers l'état d'onde de densité de charge (33K). Equipe de Jennifer E. Hoffmann, Université de Harvard.

Théorie de Ginzburg-Landau : les phonons

Le modèle (\ref{GinzburgLandau}) permet également de rendre compte de la présence de phonons et de les caractériser. Pour prendre en compte les phonons, la fonction densité doit être modifiée de la façon suivante : $$\begin{equation} \rho(\br)=\rho_0+\sum_i \int_{\bq}\left[ \bar\rho+\delta_i(\bq) e^{i(\bq \cdot \br-\omega(\bq) t)}\right] e^{i \bG_i \cdot \br} \end{equation} $$ Ici : \(\delta_i(\bq)\) représente les possibles variations d'amplitude des ondes de densité, \(e^{i\bq \cdot \br}\) les modulations des vecteurs d'onde - ou vecteurs réciproques - \(\bG_i\) (dilatation ou compression de l'onde) ; enfin l'exponentielle en \(\omega(\bq) t\) rend compte de l'oscillation dans le temps du phonon ; \(\omega(\bq)\) est l'énergie du phonon. Le phonon est donc caractérisé par son vecteur \(\bq\) et les amplitudes \(\delta_i\).

Les phonons doivent être étudiés en tant qu'excitations de basse énergie. Les amplitudes \(\delta_i\) sont bien entendu faibles devant \(\bar\rho\). Pour examiner et caractériser les phonons, il suffit de linéariser les équations d'Euler-Lagrange obtenues à partir de l'énergie de Ginzburg-Landau, par rapport à ces amplitudes. Ces équations d'Euler-Lagrange linéarisées se traduisent par une matrice carrée de dimensions le nombre total de vecteur réciproques \(\bG_i\) (12 par 12 en 3D ; 6 par 6 en 2D). Cette matrice peut être diagonalisée, elle peut même l'être analytiquement avec Mathematica par exemple, au moins pour \(\bq=0\), c'est-à-dire à basse énergie. Ceci nous permet d'identifier tous les phonons permis par le modèle (\ref{GinzburgLandau}) et qui peuvent apparaître dans le système.

A deux dimensions

Dans ce cas, comme on l'anticipe d'avance, on trouve deux phonons acoustiques, oscillants respectivement selon \(x\) et \(y\). Ceux-là ont des amplitudes \(\delta_i\) complexes dont le signe et le module sont indiqués sur la figure 13. Ces phonons acoustiques ont une énergie nulle pour \(\bq=0\). Il y a d'autre part quatre phonons optiques moins intuitifs, dont un "respirant" (breather en anglais) et un "anti-respirant" ; ces phonons ont des amplitudes \(\delta_i\) réelles. Le "respirant" correspond à une modulation d'amplitude des trois ondes de densité de concert : en chaque site du réseau, les atomes se "concentrent" et se "déconcentrent" tous en phase dans le temps (les amplitudes \(\delta_i\) sont toutes égales - voir la figure 13), d'où le terme de "breather" par analogie avec la respiration. Dans l'antibreather, les atomes de deux sous-réseaux "respirent" en opposition de phase (les amplitudes \(\delta_i\) sont opposées). Reste deux phonons optiques (a et b) avec les modulations d'amplitude un peu différentes (voir la figure 13).

Phonons à deux dimensions
Figure 13 : Les six phonons obtenus à partir de l'énergie de Ginzburg-Landau (\ref{GinzburgLandau}) en deux dimensions : il y a deux phonons acoustiques et quatre phonons optiques.

A trois dimensions

On trouve les trois phonons acoustiques oscillants dans les trois directions de l'espace (voir la figure 14) et d'énergie nulle pour \(\bq=0\) ; ainsi que neuf phonons optiques d'énergie non nulle, dont un "respirant".

Phonons à trois dimensions
Figure 14 : Les douze phonons obtenus à partir de l'énergie de Ginzburg-Landau (\ref{GinzburgLandau}) en trois dimensions : il y a trois phonons acoustiques et neufs phonons optiques.

Recherches en cours

La description de l'hélium solide (2D et 3D) par le modèle de Ginzburg-Landau (\ref{GinzburgLandau}) dans le voisinage de la transition liquide-solide, permet de considérer les phonons comme des modulations des ondes de densité. Cela nous a menés à la découverte de nombreux phonons optiques que la description usuelle (en terme de mouvement d'atomes) des solides ne permet pas d'anticiper.

Maintenant, il s'agit de les caractériser complètement : symétrie, représentation fondamentale, durée de vie. Il nous faut ensuite déterminer à quelles sondes expérimentales ces phonons peuvent se coupler : diffusion inélastique de neutrons ou Raman par exemple.

Nous espérons également pouvoir compléter l'analyse et l'approche présentées ici par des simulations numériques Monte-Carlo.

Bibliographie